Titik kritis, ekstremum, dan titik pelana dari $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Temukan dan klasifikasikan titik-titik kritis dari $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

Langkah pertama adalah menentukan semua turunan parsial orde pertama:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Selanjutnya, selesaikan sistem $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, atau $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

Sistem ini memiliki solusi riil berikut: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Sekarang, mari kita coba mengklasifikasikannya.

Tentukan semua turunan parsial orde dua:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Definisikan ekspresi $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Karena $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ lebih besar dari $$$0$$$ dan $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ lebih besar dari $$$0$$$, dapat dinyatakan bahwa $$$\left(-1, -1\right)$$$ merupakan minimum relatif.

Karena $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ lebih kecil dari $$$0$$$, dapat dinyatakan bahwa $$$\left(0, 0\right)$$$ adalah titik pelana.

Karena $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ lebih besar dari $$$0$$$ dan $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ lebih besar dari $$$0$$$, dapat dinyatakan bahwa $$$\left(1, 1\right)$$$ merupakan minimum relatif.

Maksimum Relatif

Tidak ada maksimum relatif.

Minimum Relatif

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Titik Pelana

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A