Kritische Punkte, Extrema und Sattelpunkte von $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Bestimmen und klassifizieren Sie die kritischen Punkte von $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

Der erste Schritt besteht darin, alle partiellen Ableitungen erster Ordnung zu berechnen:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Als Nächstes lösen Sie das Gleichungssystem $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ oder $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

Das System hat die folgenden reellen Lösungen: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Versuchen wir nun, sie zu klassifizieren.

Bestimmen Sie alle partiellen Ableitungen zweiter Ordnung:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (für die Schritte siehe Rechner für partielle Ableitungen).

Definieren Sie den Ausdruck $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Da $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ größer als $$$0$$$ ist und $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ größer als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(-1, -1\right)$$$ ein relatives Minimum ist.

Da $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ kleiner als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(0, 0\right)$$$ ein Sattelpunkt ist.

Da $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ größer als $$$0$$$ ist und $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ größer als $$$0$$$ ist, kann festgestellt werden, dass $$$\left(1, 1\right)$$$ ein relatives Minimum ist.

Lokale Maxima

Keine relativen Maxima.

Lokale Minima

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Sattelpunkte

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A