$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ fonksiyonunun kritik noktaları, ekstremumları ve eyer noktaları

$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ fonksiyonunun kritik noktalarını bulun ve sınıflandırın.

İlk adım, tüm birinci mertebeden kısmi türevleri bulmaktır:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

Ardından, $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ veya $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$ sistemini çözün.

Sistemin aşağıdaki gerçel çözümleri vardır: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Şimdi, onları sınıflandırmayı deneyelim.

İkinci mertebeden tüm kısmi türevleri bulun:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (adımlar için bkz. kısmi türev hesaplayıcı).

$$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16$$$ ifadesini tanımlayın.

$$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ $$$0$$$'dan büyük ve $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ $$$0$$$'dan büyük olduğundan, $$$\left(-1, -1\right)$$$ bir yerel minimumdur.

$$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ $$$0$$$'dan küçük olduğundan, $$$\left(0, 0\right)$$$'nin bir eyer noktası olduğu söylenebilir.

$$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ $$$0$$$'dan büyük ve $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ $$$0$$$'dan büyük olduğundan, $$$\left(1, 1\right)$$$ bir yerel minimumdur.

Yerel Maksimumlar

Yerel maksimum yok.

Yerel Minimumlar

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Eyer Noktaları

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A