$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$ 的临界点、极值和鞍点

求并分类$$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$的临界点。

第一步是求出所有一阶偏导数：

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

接下来，求解方程组 $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$，或者 $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$。

该方程组有以下实数解：$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$。

现在，让我们试着对它们进行分类。

求所有二阶偏导数：

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$（步骤详见 偏导数计算器）。

定义表达式 $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16$$$。

由于 $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ 大于 $$$0$$$ 且 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ 大于 $$$0$$$，因此可以断定 $$$\left(-1, -1\right)$$$ 为相对极小值点。

由于$$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$小于$$$0$$$，可以判定$$$\left(0, 0\right)$$$为鞍点。

由于 $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ 大于 $$$0$$$ 且 $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ 大于 $$$0$$$，因此可以断定 $$$\left(1, 1\right)$$$ 为相对极小值点。

相对极大值

无相对极大值。

相对极小值

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

鞍点

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A