Κρίσιμα σημεία, ακρότατα και σημεία σέλας της $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Βρείτε και ταξινομήστε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

Το πρώτο βήμα είναι να βρούμε όλες τις μερικές παραγώγους πρώτης τάξης:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Στη συνέχεια, λύστε το σύστημα $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ ή $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

Το σύστημα έχει τις ακόλουθες πραγματικές λύσεις: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Τώρα, ας προσπαθήσουμε να τα ταξινομήσουμε.

Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους δεύτερης τάξης:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).

Ορίστε την παράσταση $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Εφόσον $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ είναι μεγαλύτερο από $$$0$$$ και $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ είναι μεγαλύτερο από $$$0$$$, συμπεραίνεται ότι $$$\left(-1, -1\right)$$$ είναι σχετικό ελάχιστο.

Εφόσον $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ είναι μικρότερο από $$$0$$$, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι $$$\left(0, 0\right)$$$ είναι σημείο σέλας.

Εφόσον $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ είναι μεγαλύτερο από $$$0$$$ και $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ είναι μεγαλύτερο από $$$0$$$, συμπεραίνεται ότι $$$\left(1, 1\right)$$$ είναι σχετικό ελάχιστο.

Τοπικά Μέγιστα

Δεν υπάρχουν σχετικά μέγιστα.

Τοπικά Ελάχιστα

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Σημεία σέλας

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A