Punti critici, estremi e punti di sella di $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Trova e classifica i punti critici di $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

Il primo passo consiste nel trovare tutte le derivate parziali di primo ordine:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Successivamente, risolvi il sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, oppure $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

Il sistema ha le seguenti soluzioni reali: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Ora, proviamo a classificarli.

Trova tutte le derivate parziali seconde:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate parziali).

Definisci l'espressione $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Poiché $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ è maggiore di $$$0$$$ e $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ è maggiore di $$$0$$$, si può affermare che $$$\left(-1, -1\right)$$$ è un minimo relativo.

Poiché $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ è minore di $$$0$$$, si può affermare che $$$\left(0, 0\right)$$$ è un punto di sella.

Poiché $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ è maggiore di $$$0$$$ e $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ è maggiore di $$$0$$$, si può affermare che $$$\left(1, 1\right)$$$ è un minimo relativo.

Massimi relativi

Nessun massimo relativo.

Minimi relativi

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Punti di sella

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A