Pontos críticos, extremos e pontos de sela de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Encontre e classifique os pontos críticos de $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

O primeiro passo é encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Em seguida, resolva o sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$, ou $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$.

O sistema tem as seguintes soluções reais: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Agora, vamos tentar classificá-los.

Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (para as etapas, consulte calculadora de derivadas parciais).

Defina a expressão $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Como $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ é maior que $$$0$$$ e $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ é maior que $$$0$$$, pode-se afirmar que $$$\left(-1, -1\right)$$$ é um mínimo relativo.

Como $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ é menor que $$$0$$$, pode-se afirmar que $$$\left(0, 0\right)$$$ é um ponto de sela.

Como $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ é maior que $$$0$$$ e $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ é maior que $$$0$$$, pode-se afirmar que $$$\left(1, 1\right)$$$ é um mínimo relativo.

Máximos Relativos

Sem máximos relativos.

Mínimos Relativos

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Pontos de sela

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A