Kritieke punten, extrema en zadelpunten van $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$

Vind en classificeer de kritieke punten van $$$f{\left(x,y \right)} = x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1$$$.

De eerste stap is het bepalen van alle partiële afgeleiden van de eerste orde:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 4 x^{3} - 4 y$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = - 4 x + 4 y^{3}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Los vervolgens het stelsel $$$\begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases}$$$ of $$$\begin{cases} 4 x^{3} - 4 y = 0 \\ - 4 x + 4 y^{3} = 0 \end{cases}$$$ op.

Het stelsel heeft de volgende reële oplossingen: $$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$.

Laten we ze nu proberen te classificeren.

Bepaal alle partiële afgeleiden van de tweede orde:

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 x^{2}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = -4$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right) = 12 y^{2}$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Definieer de uitdrukking $$$D = \frac{\partial ^{2}f}{\partial x^{2}} \frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}} - \left(\frac{\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}\right)^{2} = 144 x^{2} y^{2} - 16.$$$

Aangezien $$$D{\left(-1,-1 \right)} = 128$$$ groter is dan $$$0$$$ en $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)\right)} = 12$$$ groter is dan $$$0$$$, kan worden gesteld dat $$$\left(-1, -1\right)$$$ een relatief minimum is.

Aangezien $$$D{\left(0,0 \right)} = -16$$$ kleiner is dan $$$0$$$, kan worden gesteld dat $$$\left(0, 0\right)$$$ een zadelpunt is.

Aangezien $$$D{\left(1,1 \right)} = 128$$$ groter is dan $$$0$$$ en $$$\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \left(x^{4} - 4 x y + y^{4} + 1\right)|_{\left(\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)\right)} = 12$$$ groter is dan $$$0$$$, kan worden gesteld dat $$$\left(1, 1\right)$$$ een relatief minimum is.

Relatieve maxima

Geen relatieve maxima.

Lokale minima

$$$\left(x, y\right) = \left(-1, -1\right)$$$A, $$$f{\left(-1,-1 \right)} = -1$$$A

$$$\left(x, y\right) = \left(1, 1\right)$$$A, $$$f{\left(1,1 \right)} = -1$$$A

Zadelpunten

$$$\left(x, y\right) = \left(0, 0\right)$$$A, $$$f{\left(0,0 \right)} = 1$$$A