No AI is used
  1. Startpagina
  2. Rekenmachines
  3. Rekenmachines: Analyse III
  4. Rekenmachine voor differentiaal- en integraalrekening

Rekenmachine voor Lagrange-vermenigvuldigers

Pas de methode van Lagrange-multiplicatoren stap voor stap toe

De rekenmachine zal proberen de maxima en minima van de functie van twee of drie variabelen, onder de gegeven beperkingen, te vinden met behulp van de methode van Lagrange-multiplicatoren, waarbij de stappen worden getoond.

Gerelateerde rekenmachine: Rekenmachine voor kritische punten, extremen en zadelpunten

Optioneel.

Als de rekenmachine iets niet heeft berekend, als u een fout hebt ontdekt of als u een suggestie/feedback hebt, neem dan contact met ons op.

Uw invoer

Bepaal de maximale en minimale waarden van $$$f{\left(x,y \right)} = 3 x + 4 y$$$ onder de voorwaarde $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$.

Oplossing

Let op! Deze rekenmachine controleert niet of aan de voorwaarden voor toepassing van de methode van Lagrange-multiplicatoren wordt voldaan. Gebruik op eigen risico: de uitkomst kan onjuist zijn.

Herschrijf de restrictie $$$x^{2} + y^{2} = 25$$$ als $$$x^{2} + y^{2} - 25 = 0$$$.

Stel de Lagrangiaan op: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)$$$.

Bepaal alle partiële afgeleiden van eerste orde:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda x + 3$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = 2 \lambda y + 4$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(3 x + 4 y\right) + \lambda \left(x^{2} + y^{2} - 25\right)\right) = x^{2} + y^{2} - 25$$$ (voor de stappen, zie rekenmachine voor partiële afgeleiden.)

Los vervolgens het stelsel $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$ of $$$\begin{cases} 2 \lambda x + 3 = 0 \\ 2 \lambda y + 4 = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 25 = 0 \end{cases}$$$ op.

Het stelsel heeft de volgende reële oplossingen: $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$.

$$$f{\left(-3,-4 \right)} = -25$$$

$$$f{\left(3,4 \right)} = 25$$$

Dus is de minimumwaarde $$$-25$$$ en de maximumwaarde $$$25$$$.

Antwoord

Maximum

$$$25$$$A bij $$$\left(x, y\right) = \left(3, 4\right)$$$A.

Minimum

$$$-25$$$A bij $$$\left(x, y\right) = \left(-3, -4\right)$$$A.