$$$y^{3} e^{x}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int y^{3} e^{x}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=y^{3}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{y^{3} e^{x} d x}}} = {\color{red}{y^{3} \int{e^{x} d x}}}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{x} d x} = e^{x}$$$です:

$$y^{3} {\color{red}{\int{e^{x} d x}}} = y^{3} {\color{red}{e^{x}}}$$

したがって、

$$\int{y^{3} e^{x} d x} = y^{3} e^{x}$$

積分定数を加える:

$$\int{y^{3} e^{x} d x} = y^{3} e^{x}+C$$

$$$\int y^{3} e^{x}\, dx = y^{3} e^{x} + C$$$A