|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pääyksikkönormaalivektori funktiolle $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$
Aiheeseen liittyvät laskurit: Yksikkötangenttivektorilaskin, Yksikköbinormaalivektorilaskin
Syötteesi
Etsi pääyksikkönormaalivektori vektorille $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$.
Ratkaisu
Pääyksikkönormaalivektorin löytämiseksi meidän on ensin laskettava yksikkötangenttivektorin $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)}$$$ derivaatta ja sitten normalisoitava se (muodostettava yksikkövektori).
Löydä yksikkötangenttivektori: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle$$$ (vaiheet: katso yksikkötangenttivektorin laskin).
$$$\mathbf{\vec{T}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, 0\right\rangle$$$ (vaiheista, katso derivointilaskin).
Etsi yksikkövektori: $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, 0\right\rangle$$$ (vaiheittaiset ohjeet: katso yksikkövektorilaskin).
Vastaus
Päänormaalivektori on $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, 0\right\rangle$$$A.