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Hauptnormaleneinheitsvektor für $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$
Ähnliche Rechner: Einheits-Tangentialvektor-Rechner, Rechner für den Einheits-Binormalenvektor
Ihre Eingabe
Bestimmen Sie den Einheits-Hauptnormalenvektor für $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$.
Lösung
Um den Einheits-Hauptnormalenvektor zu finden, müssen wir die Ableitung des Einheits-Tangentenvektors $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)}$$$ bestimmen und sie anschließend normieren (den Einheitsvektor finden).
Finde den Einheits-Tangentenvektor: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Einheits-Tangentenvektor-Rechner).
$$$\mathbf{\vec{T}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, 0\right\rangle$$$ (für die Rechenschritte siehe Ableitungsrechner).
Bestimme den Einheitsvektor: $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, 0\right\rangle$$$ (für die Schritte siehe Einheitsvektor-Rechner).
Antwort
Der Einheits-Hauptnormalenvektor ist $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, 0\right\rangle$$$A.