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Vetor normal unitário principal para $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$
Calculadoras relacionadas: Calculadora de Vetor Tangente Unitário, Calculadora do vetor binormal unitário
Sua entrada
Encontre o vetor normal principal unitário de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$.
Solução
Para encontrar o vetor normal unitário principal, precisamos calcular a derivada do vetor tangente unitário $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)}$$$ e, em seguida, normalizá-lo (obter o vetor unitário).
Encontre o vetor tangente unitário: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle$$$ (para as etapas, consulte calculadora de vetor tangente unitário).
$$$\mathbf{\vec{T}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle - \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, 0\right\rangle$$$ (para ver os passos, veja a calculadora de derivadas.)
Determine o vetor unitário: $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, 0\right\rangle$$$ (para ver os passos, consulte calculadora de vetor unitário).
Resposta
O vetor normal unitário principal é $$$\mathbf{\vec{N}\left(t\right)} = \left\langle - \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, 0\right\rangle$$$A.