|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yksikkötangenttivektori funktiolle $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$
Aiheeseen liittyvät laskurit: Yksikkönormaalivektorin laskin, Yksikköbinormaalivektorilaskin
Syötteesi
Määritä $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$:n yksikkötangenttivektori.
Ratkaisu
Yksikkötangenttivektorin löytämiseksi on ensin löydettävä $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$:n (tangenttivektorin) derivaatta ja sitten normalisoitava se (tehtävä siitä yksikkövektori).
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle \sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, e^{t}\right\rangle$$$ (vaiheista, katso derivointilaskin).
Etsi yksikkövektori: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle$$$ (vaiheittaiset ohjeet: katso yksikkövektorilaskin).
Vastaus
Yksikkötangenttivektori on $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle.$$$A