|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής μοναδιαίου κανονικού διανύσματος, Υπολογιστής Μοναδιαίου Δικανονικού Διανύσματος
Η είσοδός σας
Βρείτε το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα για $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle e^{t} \cos{\left(t \right)}, e^{t} \sin{\left(t \right)}, e^{t}\right\rangle$$$.
Λύση
Για να βρούμε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα, πρέπει να βρούμε την παράγωγο του $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ (του εφαπτόμενου διανύσματος) και στη συνέχεια να το κανονικοποιήσουμε (να βρούμε το μοναδιαίο διάνυσμα).
$$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle \sqrt{2} e^{t} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, \sqrt{2} e^{t} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}, e^{t}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγων).
Βρείτε το μοναδιαίο διάνυσμα: $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μοναδιαίου διανύσματος).
Απάντηση
Το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα είναι $$$\mathbf{\vec{T}\left(t\right)} = \left\langle \frac{\sqrt{6} \cos{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{6} \sin{\left(t + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right\rangle.$$$A