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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$28$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$; daher ist der Rest $$$57$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$; daher ist der Rest $$$23$$$.
Überprüfe $$$2$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$; daher ist der Rest $$$170$$$.
Überprüfe $$$-2$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$; daher ist der Rest $$$6$$$.
Überprüfe $$$4$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$; daher ist der Rest $$$1008$$$.
Überprüfe $$$-4$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$; daher ist der Rest $$$-88$$$.
Überprüfe $$$7$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$; daher ist der Rest $$$5775$$$.
Überprüfe $$$-7$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$; daher ist der Rest $$$161$$$.
Überprüfe $$$14$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - 14$$$.
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$; daher ist der Rest $$$62678$$$.
Überprüfe $$$-14$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$.
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$; daher ist der Rest $$$18522$$$.
Überprüfe $$$28$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - 28$$$.
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$; daher ist der Rest $$$799176$$$.
Überprüfe $$$-28$$$: Teile $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ durch $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$.
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$; daher ist der Rest $$$447440$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: keine rationalen Nullstellen.