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Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$28$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$1$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$ ; ainsi, le reste est $$$57$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$ ; ainsi, le reste est $$$23$$$.
Vérifiez $$$2$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$ ; ainsi, le reste est $$$170$$$.
Vérifiez $$$-2$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$ ; ainsi, le reste est $$$6$$$.
Vérifiez $$$4$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$ ; ainsi, le reste est $$$1008$$$.
Vérifiez $$$-4$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$ ; ainsi, le reste est $$$-88$$$.
Vérifiez $$$7$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$ ; ainsi, le reste est $$$5775$$$.
Vérifiez $$$-7$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$ ; ainsi, le reste est $$$161$$$.
Vérifiez $$$14$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - 14$$$.
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$ ; ainsi, le reste est $$$62678$$$.
Vérifiez $$$-14$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$.
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$ ; ainsi, le reste est $$$18522$$$.
Vérifiez $$$28$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - 28$$$.
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$ ; ainsi, le reste est $$$799176$$$.
Vérifiez $$$-28$$$ : divisez $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ par $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$.
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$ ; ainsi, le reste est $$$447440$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.
Racines rationnelles effectives : aucune racine rationnelle.