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$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$28$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$1$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$; したがって、余りは$$$57$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$; したがって、余りは$$$23$$$です。
$$$2$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - 2$$$ で割る。
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$; したがって、余りは$$$170$$$です。
$$$-2$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ で割る。
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$; したがって、余りは$$$6$$$です。
$$$4$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - 4$$$ で割る。
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$; したがって、余りは$$$1008$$$です。
$$$-4$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$ で割る。
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$; したがって、余りは$$$-88$$$です。
$$$7$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - 7$$$ で割る。
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$; したがって、余りは$$$5775$$$です。
$$$-7$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$ で割る。
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$; したがって、余りは$$$161$$$です。
$$$14$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - 14$$$ で割る。
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$; したがって、余りは$$$62678$$$です。
$$$-14$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$ で割る。
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$; したがって、余りは$$$18522$$$です。
$$$28$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - 28$$$ で割る。
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$; したがって、余りは$$$799176$$$です。
$$$-28$$$ を検算：$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ を $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$ で割る。
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$; したがって、余りは$$$447440$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.
実際の有理根: 有理根はありません。