Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$:lle

Etsi polynomin $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$28$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$1$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = 57$$$; joten jäännös on $$$57$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$; joten jäännös on $$$23$$$.

• Tarkista $$$2$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = 170$$$; joten jäännös on $$$170$$$.

• Tarkista $$$-2$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$; joten jäännös on $$$6$$$.

• Tarkista $$$4$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - 4$$$.

  $$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$; joten jäännös on $$$1008$$$.

• Tarkista $$$-4$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.

  $$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$; joten jäännös on $$$-88$$$.

• Tarkista $$$7$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - 7$$$.

  $$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$; joten jäännös on $$$5775$$$.

• Tarkista $$$-7$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

  $$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$; joten jäännös on $$$161$$$.

• Tarkista $$$14$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - 14$$$.

  $$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$; joten jäännös on $$$62678$$$.

• Tarkista $$$-14$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$.

  $$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$; joten jäännös on $$$18522$$$.

• Tarkista $$$28$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - 28$$$.

  $$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$; joten jäännös on $$$799176$$$.

• Tarkista $$$-28$$$: jaa $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ tekijällä $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$.

  $$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$; joten jäännös on $$$447440$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.

Löydetyt rationaaliset juuret: ei rationaalisia juuria.