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$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 的可能有理根和实际有理根
您的输入
求$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$的有理根。
解答
由于所有系数都是整数，我们可以应用有理根定理。
末项系数（即常数项的系数）为 $$$28$$$。
求它的因数 (带正号和负号): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
这些是 $$$p$$$ 的可能取值。
首项系数（最高次项的系数）为 $$$1$$$。
求其因数（包括正负号）：$$$\pm 1$$$.
这些是$$$q$$$的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$。
化简并去除重复项（如有）。
这些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$。
接下来，检查可能的根：如果$$$a$$$是多项式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，将$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的余式应等于$$$0$$$（根据remainder theorem，这意味着$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
检验 $$$1$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$；因此，余数为$$$57$$$。
检验 $$$-1$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$；因此，余数为$$$23$$$。
检验 $$$2$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$；因此，余数为$$$170$$$。
检验 $$$-2$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$；因此，余数为$$$6$$$。
检验 $$$4$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 4$$$。
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$；因此，余数为$$$1008$$$。
检验 $$$-4$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$。
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$；因此，余数为$$$-88$$$。
检验 $$$7$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 7$$$。
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$；因此，余数为$$$5775$$$。
检验 $$$-7$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$。
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$；因此，余数为$$$161$$$。
检验 $$$14$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 14$$$。
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$；因此，余数为$$$62678$$$。
检验 $$$-14$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$。
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$；因此，余数为$$$18522$$$。
检验 $$$28$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 28$$$。
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$；因此，余数为$$$799176$$$。
检验 $$$-28$$$：将 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$。
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$；因此，余数为$$$447440$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A。
实际的有理根：无有理根。