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$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 的可能有理根與實際有理根
您的輸入
求 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$ 的有理零點。
解答
由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。
尾係數（常數項的係數）為 $$$28$$$。
求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$。
以下是 $$$p$$$ 的可能取值。
首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。
求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$
這些是 $$$q$$$ 的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$。
化簡並去除重複項（若有）。
這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$。
接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$；因此，餘數為 $$$57$$$。
檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$；因此，餘數為 $$$23$$$。
檢查 $$$2$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$；因此，餘數為 $$$170$$$。
檢查 $$$-2$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$；因此，餘數為 $$$6$$$。
檢查 $$$4$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 4$$$。
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$；因此，餘數為 $$$1008$$$。
檢查 $$$-4$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$。
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$；因此，餘數為 $$$-88$$$。
檢查 $$$7$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 7$$$。
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$；因此，餘數為 $$$5775$$$。
檢查 $$$-7$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$。
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$；因此，餘數為 $$$161$$$。
檢查 $$$14$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 14$$$。
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$；因此，餘數為 $$$62678$$$。
檢查 $$$-14$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$。
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$；因此，餘數為 $$$18522$$$。
檢查 $$$28$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - 28$$$。
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$；因此，餘數為 $$$799176$$$。
檢查 $$$-28$$$：將 $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ 除以 $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$。
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$；因此，餘數為 $$$447440$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A。
實際的有理根：沒有有理根。