|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$28$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$57$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$23$$$.
Ελέγξτε $$$2$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$170$$$.
Ελέγξτε $$$-2$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$6$$$.
Ελέγξτε $$$4$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$1008$$$.
Ελέγξτε $$$-4$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-88$$$.
Ελέγξτε $$$7$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$5775$$$.
Ελέγξτε $$$-7$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$161$$$.
Ελέγξτε $$$14$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - 14$$$.
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$62678$$$.
Ελέγξτε $$$-14$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$.
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$18522$$$.
Ελέγξτε $$$28$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - 28$$$.
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$799176$$$.
Ελέγξτε $$$-28$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ με τον $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$.
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$447440$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.
Ρητές ρίζες που βρέθηκαν: καμία ρητή ρίζα.