$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ için olası ve bulunan rasyonel kökler

$$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.

Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.

Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$28$$$ değerine eşittir.

Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.

Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.

Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$1$$$.

Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$.

Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.

$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.

Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.

Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.

Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).

• $$$1$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(1 \right)} = 57$$$; dolayısıyla, kalan $$$57$$$’dir.

• $$$-1$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$; dolayısıyla, kalan $$$23$$$’dir.

• $$$2$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - 2$$$ ile böl.

  $$$P{\left(2 \right)} = 170$$$; dolayısıyla, kalan $$$170$$$’dir.

• $$$-2$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$; dolayısıyla, kalan $$$6$$$’dir.

• $$$4$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - 4$$$ ile böl.

  $$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$; dolayısıyla, kalan $$$1008$$$’dir.

• $$$-4$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$; dolayısıyla, kalan $$$-88$$$’dir.

• $$$7$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - 7$$$ ile böl.

  $$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$; dolayısıyla, kalan $$$5775$$$’dir.

• $$$-7$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$; dolayısıyla, kalan $$$161$$$’dir.

• $$$14$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - 14$$$ ile böl.

  $$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$; dolayısıyla, kalan $$$62678$$$’dir.

• $$$-14$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$; dolayısıyla, kalan $$$18522$$$’dir.

• $$$28$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - 28$$$ ile böl.

  $$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$; dolayısıyla, kalan $$$799176$$$’dir.

• $$$-28$$$'i kontrol et: $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$'yi $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$; dolayısıyla, kalan $$$447440$$$’dir.

Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.

Bulunan rasyonel kökler: rasyonel kök yok.