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Posibles y verdaderas raíces racionales de $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$
Tu entrada
Encuentra los ceros racionales de $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$.
Solución
Como todos los coeficientes son enteros, podemos aplicar el teorema de las raíces racionales.
El coeficiente independiente (el coeficiente del término constante) es $$$28$$$.
Halla sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Estos son los posibles valores de $$$p$$$.
El coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) es $$$1$$$.
Encuentre sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$.
Estos son los valores posibles de $$$q$$$.
Halla todos los valores posibles de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.
Simplifica y elimina los duplicados (si los hay).
Estas son las posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
A continuación, comprueba las posibles raíces: si $$$a$$$ es una raíz del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, el resto de la división de $$$P{\left(x \right)}$$$ entre $$$x - a$$$ debe ser igual a $$$0$$$ (según el teorema del resto, esto significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Compruebe $$$1$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$; por lo tanto, el resto es $$$57$$$.
Compruebe $$$-1$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$; por lo tanto, el resto es $$$23$$$.
Compruebe $$$2$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$; por lo tanto, el resto es $$$170$$$.
Compruebe $$$-2$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$; por lo tanto, el resto es $$$6$$$.
Compruebe $$$4$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$; por lo tanto, el resto es $$$1008$$$.
Compruebe $$$-4$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$; por lo tanto, el resto es $$$-88$$$.
Compruebe $$$7$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$; por lo tanto, el resto es $$$5775$$$.
Compruebe $$$-7$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$; por lo tanto, el resto es $$$161$$$.
Compruebe $$$14$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - 14$$$.
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$; por lo tanto, el resto es $$$62678$$$.
Compruebe $$$-14$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$.
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$; por lo tanto, el resto es $$$18522$$$.
Compruebe $$$28$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - 28$$$.
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$; por lo tanto, el resto es $$$799176$$$.
Compruebe $$$-28$$$: divida $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ entre $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$.
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$; por lo tanto, el resto es $$$447440$$$.
Respuesta
Posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.
Raíces racionales verdaderas: no hay raíces racionales.