|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$28$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$1$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{14}{1}$$$, $$$\pm \frac{28}{1}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 57$$$; således är resten $$$57$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 23$$$; således är resten $$$23$$$.
Kontrollera $$$2$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 170$$$; således är resten $$$170$$$.
Kontrollera $$$-2$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 6$$$; således är resten $$$6$$$.
Kontrollera $$$4$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 1008$$$; således är resten $$$1008$$$.
Kontrollera $$$-4$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = -88$$$; således är resten $$$-88$$$.
Kontrollera $$$7$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - 7$$$.
$$$P{\left(7 \right)} = 5775$$$; således är resten $$$5775$$$.
Kontrollera $$$-7$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.
$$$P{\left(-7 \right)} = 161$$$; således är resten $$$161$$$.
Kontrollera $$$14$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - 14$$$.
$$$P{\left(14 \right)} = 62678$$$; således är resten $$$62678$$$.
Kontrollera $$$-14$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - \left(-14\right) = x + 14$$$.
$$$P{\left(-14 \right)} = 18522$$$; således är resten $$$18522$$$.
Kontrollera $$$28$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - 28$$$.
$$$P{\left(28 \right)} = 799176$$$; således är resten $$$799176$$$.
Kontrollera $$$-28$$$: dividera $$$x^{4} + 8 x^{3} + 11 x^{2} + 9 x + 28$$$ med $$$x - \left(-28\right) = x + 28$$$.
$$$P{\left(-28 \right)} = 447440$$$; således är resten $$$447440$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm 14$$$, $$$\pm 28$$$A.
Faktiska rationella rötter: inga rationella rötter.