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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$6$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$2$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 1$$$; daher ist der Rest $$$1$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$; daher ist der Rest $$$-1$$$.
Überprüfe $$$\frac{1}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{17}{4}$$$.
Überprüfe $$$- \frac{1}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{19}{4}$$$.
Überprüfe $$$2$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; daher ist der Rest $$$-4$$$.
Überprüfe $$$-2$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$; daher ist der Rest $$$-32$$$.
Überprüfe $$$3$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 3$$$; daher ist der Rest $$$3$$$.
Überprüfe $$$-3$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$; daher ist der Rest $$$-99$$$.
Überprüfe $$$\frac{3}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$; daher ist der Rest $$$- \frac{9}{4}$$$.
Überprüfe $$$- \frac{3}{2}$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$; daher ist der Rest $$$- \frac{51}{4}$$$.
Überprüfe $$$6$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 216$$$; daher ist der Rest $$$216$$$.
Überprüfe $$$-6$$$: Teile $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ durch $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$; daher ist der Rest $$$-636$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: keine rationalen Nullstellen.