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Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$6$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$2$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 1$$$ ; ainsi, le reste est $$$1$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$ ; ainsi, le reste est $$$-1$$$.
Vérifiez $$$\frac{1}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{17}{4}$$$.
Vérifiez $$$- \frac{1}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$\frac{19}{4}$$$.
Vérifiez $$$2$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$ ; ainsi, le reste est $$$-4$$$.
Vérifiez $$$-2$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$ ; ainsi, le reste est $$$-32$$$.
Vérifiez $$$3$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 3$$$ ; ainsi, le reste est $$$3$$$.
Vérifiez $$$-3$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$ ; ainsi, le reste est $$$-99$$$.
Vérifiez $$$\frac{3}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$- \frac{9}{4}$$$.
Vérifiez $$$- \frac{3}{2}$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$ ; ainsi, le reste est $$$- \frac{51}{4}$$$.
Vérifiez $$$6$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 216$$$ ; ainsi, le reste est $$$216$$$.
Vérifiez $$$-6$$$ : divisez $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ par $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$ ; ainsi, le reste est $$$-636$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A.
Racines rationnelles effectives : aucune racine rationnelle.