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$$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 的可能有理根和实际有理根
您的输入
求$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$的有理根。
解答
由于所有系数都是整数，我们可以应用有理根定理。
末项系数（即常数项的系数）为 $$$6$$$。
求它的因数 (带正号和负号): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
这些是 $$$p$$$ 的可能取值。
首项系数（最高次项的系数）为 $$$2$$$。
求其因数（包括正负号）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
这些是$$$q$$$的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$。
化简并去除重复项（如有）。
这些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$。
接下来，检查可能的根：如果$$$a$$$是多项式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，将$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的余式应等于$$$0$$$（根据remainder theorem，这意味着$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
检验 $$$1$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = 1$$$；因此，余数为$$$1$$$。
检验 $$$-1$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$；因此，余数为$$$-1$$$。
检验 $$$\frac{1}{2}$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$；因此，余数为$$$\frac{17}{4}$$$。
检验 $$$- \frac{1}{2}$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$；因此，余数为$$$\frac{19}{4}$$$。
检验 $$$2$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$；因此，余数为$$$-4$$$。
检验 $$$-2$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$；因此，余数为$$$-32$$$。
检验 $$$3$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 3$$$。
$$$P{\left(3 \right)} = 3$$$；因此，余数为$$$3$$$。
检验 $$$-3$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。
$$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$；因此，余数为$$$-99$$$。
检验 $$$\frac{3}{2}$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \frac{3}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$；因此，余数为$$$- \frac{9}{4}$$$。
检验 $$$- \frac{3}{2}$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$；因此，余数为$$$- \frac{51}{4}$$$。
检验 $$$6$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 6$$$。
$$$P{\left(6 \right)} = 216$$$；因此，余数为$$$216$$$。
检验 $$$-6$$$：将 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$。
$$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$；因此，余数为$$$-636$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A。
实际的有理根：无有理根。