Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$:lle

Etsi polynomin $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$6$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$2$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = 1$$$; joten jäännös on $$$1$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$; joten jäännös on $$$-1$$$.

• Tarkista $$$\frac{1}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$; joten jäännös on $$$\frac{17}{4}$$$.

• Tarkista $$$- \frac{1}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$; joten jäännös on $$$\frac{19}{4}$$$.

• Tarkista $$$2$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; joten jäännös on $$$-4$$$.

• Tarkista $$$-2$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$; joten jäännös on $$$-32$$$.

• Tarkista $$$3$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 3$$$; joten jäännös on $$$3$$$.

• Tarkista $$$-3$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$; joten jäännös on $$$-99$$$.

• Tarkista $$$\frac{3}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$; joten jäännös on $$$- \frac{9}{4}$$$.

• Tarkista $$$- \frac{3}{2}$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$; joten jäännös on $$$- \frac{51}{4}$$$.

• Tarkista $$$6$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - 6$$$.

  $$$P{\left(6 \right)} = 216$$$; joten jäännös on $$$216$$$.

• Tarkista $$$-6$$$: jaa $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.

  $$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$; joten jäännös on $$$-636$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A.

Löydetyt rationaaliset juuret: ei rationaalisia juuria.