|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$6$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$2$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 1$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$1$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-1$$$.
Ελέγξτε $$$\frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{17}{4}$$$.
Ελέγξτε $$$- \frac{1}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{19}{4}$$$.
Ελέγξτε $$$2$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-4$$$.
Ελέγξτε $$$-2$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-32$$$.
Ελέγξτε $$$3$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 3$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$3$$$.
Ελέγξτε $$$-3$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-99$$$.
Ελέγξτε $$$\frac{3}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$- \frac{9}{4}$$$.
Ελέγξτε $$$- \frac{3}{2}$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$- \frac{51}{4}$$$.
Ελέγξτε $$$6$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 216$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$216$$$.
Ελέγξτε $$$-6$$$: διαιρέστε το $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-636$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A.
Ρητές ρίζες που βρέθηκαν: καμία ρητή ρίζα.