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$$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 的可能有理根與實際有理根
您的輸入
求 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$ 的有理零點。
解答
由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。
尾係數（常數項的係數）為 $$$6$$$。
求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$。
以下是 $$$p$$$ 的可能取值。
首項係數（最高次項的係數）為 $$$2$$$。
求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$
這些是 $$$q$$$ 的可能取值。
求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$。
化簡並去除重複項（若有）。
這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$。
接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。
檢查 $$$1$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 1$$$。
$$$P{\left(1 \right)} = 1$$$；因此，餘數為 $$$1$$$。
檢查 $$$-1$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。
$$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$；因此，餘數為 $$$-1$$$。
檢查 $$$\frac{1}{2}$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$；因此，餘數為 $$$\frac{17}{4}$$$。
檢查 $$$- \frac{1}{2}$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$；因此，餘數為 $$$\frac{19}{4}$$$。
檢查 $$$2$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 2$$$。
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$；因此，餘數為 $$$-4$$$。
檢查 $$$-2$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。
$$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$；因此，餘數為 $$$-32$$$。
檢查 $$$3$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 3$$$。
$$$P{\left(3 \right)} = 3$$$；因此，餘數為 $$$3$$$。
檢查 $$$-3$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。
$$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$；因此，餘數為 $$$-99$$$。
檢查 $$$\frac{3}{2}$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \frac{3}{2}$$$。
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$；因此，餘數為 $$$- \frac{9}{4}$$$。
檢查 $$$- \frac{3}{2}$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$。
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$；因此，餘數為 $$$- \frac{51}{4}$$$。
檢查 $$$6$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - 6$$$。
$$$P{\left(6 \right)} = 216$$$；因此，餘數為 $$$216$$$。
檢查 $$$-6$$$：將 $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$。
$$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$；因此，餘數為 $$$-636$$$。
答案
可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A。
實際的有理根：沒有有理根。