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$$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$6$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$2$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = 1$$$; したがって、余りは$$$1$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$; したがって、余りは$$$-1$$$です。
$$$\frac{1}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$; したがって、余りは$$$\frac{17}{4}$$$です。
$$$- \frac{1}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$; したがって、余りは$$$\frac{19}{4}$$$です。
$$$2$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - 2$$$ で割る。
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; したがって、余りは$$$-4$$$です。
$$$-2$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ で割る。
$$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$; したがって、余りは$$$-32$$$です。
$$$3$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - 3$$$ で割る。
$$$P{\left(3 \right)} = 3$$$; したがって、余りは$$$3$$$です。
$$$-3$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$ で割る。
$$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$; したがって、余りは$$$-99$$$です。
$$$\frac{3}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \frac{3}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$; したがって、余りは$$$- \frac{9}{4}$$$です。
$$$- \frac{3}{2}$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$ で割る。
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$; したがって、余りは$$$- \frac{51}{4}$$$です。
$$$6$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - 6$$$ で割る。
$$$P{\left(6 \right)} = 216$$$; したがって、余りは$$$216$$$です。
$$$-6$$$ を検算：$$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ を $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$ で割る。
$$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$; したがって、余りは$$$-636$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A.
実際の有理根: 有理根はありません。