|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$6$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$2$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{2}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 1$$$; således är resten $$$1$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -1$$$; således är resten $$$-1$$$.
Kontrollera $$$\frac{1}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = \frac{17}{4}$$$; således är resten $$$\frac{17}{4}$$$.
Kontrollera $$$- \frac{1}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{19}{4}$$$; således är resten $$$\frac{19}{4}$$$.
Kontrollera $$$2$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -4$$$; således är resten $$$-4$$$.
Kontrollera $$$-2$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -32$$$; således är resten $$$-32$$$.
Kontrollera $$$3$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 3$$$; således är resten $$$3$$$.
Kontrollera $$$-3$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = -99$$$; således är resten $$$-99$$$.
Kontrollera $$$\frac{3}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = - \frac{9}{4}$$$; således är resten $$$- \frac{9}{4}$$$.
Kontrollera $$$- \frac{3}{2}$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.
$$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = - \frac{51}{4}$$$; således är resten $$$- \frac{51}{4}$$$.
Kontrollera $$$6$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 216$$$; således är resten $$$216$$$.
Kontrollera $$$-6$$$: dividera $$$2 x^{3} - 6 x^{2} - x + 6$$$ med $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -636$$$; således är resten $$$-636$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm 6$$$A.
Faktiska rationella rötter: inga rationella rötter.