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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$6$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$1$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 4$$$; daher ist der Rest $$$4$$$.
Überprüfe $$$2$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 10$$$; daher ist der Rest $$$10$$$.
Überprüfe $$$-2$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -6$$$; daher ist der Rest $$$-6$$$.
Überprüfe $$$3$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 84$$$; daher ist der Rest $$$84$$$.
Überprüfe $$$-3$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$-3$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$6$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 1530$$$; daher ist der Rest $$$1530$$$.
Überprüfe $$$-6$$$: Teile $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ durch $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = 714$$$; daher ist der Rest $$$714$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$1$$$, $$$-3$$$A.