$$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 的可能有理根與實際有理根

求 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6 = 0$$$ 的有理零點。

由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。

尾係數（常數項的係數）為 $$$6$$$。

求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$。

以下是 $$$p$$$ 的可能取值。

首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。

求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$

這些是 $$$q$$$ 的可能取值。

求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$。

化簡並去除重複項（若有）。

這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$。

接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。

• 檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - 1$$$。

  $$$P{\left(1 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$1$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。

  $$$P{\left(-1 \right)} = 4$$$；因此，餘數為 $$$4$$$。

• 檢查 $$$2$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - 2$$$。

  $$$P{\left(2 \right)} = 10$$$；因此，餘數為 $$$10$$$。

• 檢查 $$$-2$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。

  $$$P{\left(-2 \right)} = -6$$$；因此，餘數為 $$$-6$$$。

• 檢查 $$$3$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - 3$$$。

  $$$P{\left(3 \right)} = 84$$$；因此，餘數為 $$$84$$$。

• 檢查 $$$-3$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$。

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$-3$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$6$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - 6$$$。

  $$$P{\left(6 \right)} = 1530$$$；因此，餘數為 $$$1530$$$。

• 檢查 $$$-6$$$：將 $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ 除以 $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$。

  $$$P{\left(-6 \right)} = 714$$$；因此，餘數為 $$$714$$$。

可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$A。

實際的有理根：$$$1$$$, $$$-3$$$A。