|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$6$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$1$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$1$$$ en rot.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 4$$$; således är resten $$$4$$$.
Kontrollera $$$2$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 10$$$; således är resten $$$10$$$.
Kontrollera $$$-2$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -6$$$; således är resten $$$-6$$$.
Kontrollera $$$3$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 84$$$; således är resten $$$84$$$.
Kontrollera $$$-3$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-3$$$ en rot.
Kontrollera $$$6$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 1530$$$; således är resten $$$1530$$$.
Kontrollera $$$-6$$$: dividera $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ med $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = 714$$$; således är resten $$$714$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$A.
Faktiska rationella rötter: $$$1$$$, $$$-3$$$A.