Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$:lle

Etsi polynomin $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$6$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$1$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$1$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 4$$$; joten jäännös on $$$4$$$.

• Tarkista $$$2$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = 10$$$; joten jäännös on $$$10$$$.

• Tarkista $$$-2$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = -6$$$; joten jäännös on $$$-6$$$.

• Tarkista $$$3$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 84$$$; joten jäännös on $$$84$$$.

• Tarkista $$$-3$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$-3$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$6$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - 6$$$.

  $$$P{\left(6 \right)} = 1530$$$; joten jäännös on $$$1530$$$.

• Tarkista $$$-6$$$: jaa $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ tekijällä $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.

  $$$P{\left(-6 \right)} = 714$$$; joten jäännös on $$$714$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$A.

Todelliset rationaaliset juuret: $$$1$$$, $$$-3$$$A.