|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$6$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$1$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$1$$$ est une racine.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 4$$$ ; ainsi, le reste est $$$4$$$.
Vérifiez $$$2$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 10$$$ ; ainsi, le reste est $$$10$$$.
Vérifiez $$$-2$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -6$$$ ; ainsi, le reste est $$$-6$$$.
Vérifiez $$$3$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 84$$$ ; ainsi, le reste est $$$84$$$.
Vérifiez $$$-3$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$-3$$$ est une racine.
Vérifiez $$$6$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 1530$$$ ; ainsi, le reste est $$$1530$$$.
Vérifiez $$$-6$$$ : divisez $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ par $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = 714$$$ ; ainsi, le reste est $$$714$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$A.
Racines rationnelles effectives : $$$1$$$, $$$-3$$$A.