|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$6$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$1$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 4$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$4$$$.
Ελέγξτε $$$2$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 10$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$10$$$.
Ελέγξτε $$$-2$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -6$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-6$$$.
Ελέγξτε $$$3$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 84$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$84$$$.
Ελέγξτε $$$-3$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-3$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$6$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 1530$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$1530$$$.
Ελέγξτε $$$-6$$$: διαιρέστε το $$$x^{4} + 2 x^{3} - 5 x^{2} - 4 x + 6$$$ με τον $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = 714$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$714$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 6$$$A.
Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$1$$$, $$$-3$$$A.