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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$10$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$1$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 8$$$; daher ist der Rest $$$8$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$-1$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$2$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$2$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$-2$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$; daher ist der Rest $$$-28$$$.
Überprüfe $$$5$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$5$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$-5$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$; daher ist der Rest $$$-280$$$.
Überprüfe $$$10$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 440$$$; daher ist der Rest $$$440$$$.
Überprüfe $$$-10$$$: Teile $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ durch $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$; daher ist der Rest $$$-1620$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstellen: $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.