|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mogelijke en daadwerkelijke rationele nulpunten van $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$
Uw invoer
Vind de rationele nulpunten van $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$.
Oplossing
Aangezien alle coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen we de stelling van de rationale wortels toepassen.
De laatste coëfficiënt (de coëfficiënt van de constante term) is $$$10$$$.
Vind de factoren ervan (met het plusteken en het minteken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$p$$$.
De leidende coëfficiënt (de coëfficiënt van de term met de hoogste graad) is $$$1$$$.
Vind de factoren (met het plus- en minteken): $$$\pm 1$$$.
Dit zijn de mogelijke waarden voor $$$q$$$.
Bepaal alle mogelijke waarden van $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.
Vereenvoudig en verwijder de duplicaten (indien aanwezig).
Dit zijn de mogelijke rationele nulpunten: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Controleer vervolgens de mogelijke wortels: als $$$a$$$ een wortel van de veelterm $$$P{\left(x \right)}$$$ is, moet de rest bij de deling van $$$P{\left(x \right)}$$$ door $$$x - a$$$ gelijk zijn aan $$$0$$$ (volgens de reststelling betekent dit dat $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Controleer $$$1$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 8$$$; dus is de rest $$$8$$$.
Controleer $$$-1$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$-1$$$ een wortel.
Controleer $$$2$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$2$$$ een wortel.
Controleer $$$-2$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$; dus is de rest $$$-28$$$.
Controleer $$$5$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; dus is de rest $$$0$$$.
Dus is $$$5$$$ een wortel.
Controleer $$$-5$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$; dus is de rest $$$-280$$$.
Controleer $$$10$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 440$$$; dus is de rest $$$440$$$.
Controleer $$$-10$$$: deel $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ door $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$; dus is de rest $$$-1620$$$.
Antwoord
Mogelijke rationele wortels: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.
Daadwerkelijke rationele wortels: $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.