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Racines rationnelles possibles et effectives de $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$
Votre saisie
Trouvez les racines rationnelles de $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$.
Solution
Puisque tous les coefficients sont des entiers, nous pouvons appliquer le théorème des racines rationnelles.
Le coefficient indépendant (le coefficient du terme constant) est $$$10$$$.
Trouvez ses diviseurs (avec le signe plus et le signe moins) : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$p$$$.
Le coefficient dominant (le coefficient du terme de plus haut degré) est $$$1$$$.
Trouvez ses facteurs (avec les signes plus et moins) : $$$\pm 1$$$.
Voici les valeurs possibles de $$$q$$$.
Trouvez toutes les valeurs possibles de $$$\frac{p}{q}$$$ : $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.
Simplifiez et supprimez les doublons (le cas échéant).
Voici les racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Ensuite, vérifiez les racines possibles : si $$$a$$$ est une racine du polynôme $$$P{\left(x \right)}$$$, le reste de la division de $$$P{\left(x \right)}$$$ par $$$x - a$$$ doit être égal à $$$0$$$ (d’après le théorème du reste, cela signifie que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Vérifiez $$$1$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 8$$$ ; ainsi, le reste est $$$8$$$.
Vérifiez $$$-1$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$-1$$$ est une racine.
Vérifiez $$$2$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$2$$$ est une racine.
Vérifiez $$$-2$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$ ; ainsi, le reste est $$$-28$$$.
Vérifiez $$$5$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$ ; ainsi, le reste est $$$0$$$.
Par conséquent, $$$5$$$ est une racine.
Vérifiez $$$-5$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$ ; ainsi, le reste est $$$-280$$$.
Vérifiez $$$10$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 440$$$ ; ainsi, le reste est $$$440$$$.
Vérifiez $$$-10$$$ : divisez $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ par $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$ ; ainsi, le reste est $$$-1620$$$.
Réponse
Racines rationnelles possibles : $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.
Racines rationnelles effectives : $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.