|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Möjliga och faktiska rationella rötter till $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$
Din inmatning
Hitta de rationella rötterna till $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$.
Lösning
Eftersom alla koefficienter är heltal kan vi tillämpa satsen om rationella rötter.
Den sista koefficienten (koefficienten till konstanttermen) är $$$10$$$.
Bestäm dess faktorer (med både plus- och minustecken): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$p$$$.
Den ledande koefficienten (koefficienten för termen av högst grad) är $$$1$$$.
Hitta dess faktorer (med plustecknet och minustecknet): $$$\pm 1$$$.
Detta är de möjliga värdena för $$$q$$$.
Bestäm alla möjliga värden för $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.
Förenkla och ta bort dubbletter (om några).
Här är de möjliga rationella rötterna: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Kontrollera därefter de möjliga rötterna: om $$$a$$$ är en rot till polynomet $$$P{\left(x \right)}$$$, ska resten vid divisionen av $$$P{\left(x \right)}$$$ med $$$x - a$$$ vara lika med $$$0$$$ (enligt restteoremet innebär detta att $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Kontrollera $$$1$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 8$$$; således är resten $$$8$$$.
Kontrollera $$$-1$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$-1$$$ en rot.
Kontrollera $$$2$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$2$$$ en rot.
Kontrollera $$$-2$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$; således är resten $$$-28$$$.
Kontrollera $$$5$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; således är resten $$$0$$$.
Alltså är $$$5$$$ en rot.
Kontrollera $$$-5$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$; således är resten $$$-280$$$.
Kontrollera $$$10$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 440$$$; således är resten $$$440$$$.
Kontrollera $$$-10$$$: dividera $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ med $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$; således är resten $$$-1620$$$.
Svar
Möjliga rationella rötter: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.
Faktiska rationella rötter: $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.