|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$10$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$1$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = 8$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$8$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-1$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$2$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$2$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$-2$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-28$$$.
Ελέγξτε $$$5$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$5$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$-5$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-280$$$.
Ελέγξτε $$$10$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 440$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$440$$$.
Ελέγξτε $$$-10$$$: διαιρέστε το $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ με τον $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-1620$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.
Πραγματικές ρητές ρίζες: $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.