$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ için olası ve bulunan rasyonel kökler

$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$ polinomunun rasyonel köklerini bulun.

Tüm katsayılar tamsayı olduğundan, rasyonel kökler teoremini uygulayabiliriz.

Son katsayı (sabit terimin katsayısı) $$$10$$$ değerine eşittir.

Onun çarpanlarını (artı ve eksi işaretleriyle) bulun: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.

Bunlar $$$p$$$ için olası değerlerdir.

Baş katsayı (en yüksek dereceli terimin katsayısı) $$$1$$$.

Çarpanlarını bulun (artı ve eksi işaretleriyle): $$$\pm 1$$$.

Bunlar $$$q$$$ için olası değerlerdir.

$$$\frac{p}{q}$$$ için tüm olası değerleri bulun: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.

Sadeleştirin ve varsa yinelenenleri kaldırın.

Bunlar olası rasyonel köklerdir: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.

Ardından, olası kökleri kontrol edin: $$$a$$$, $$$P{\left(x \right)}$$$ polinomunun bir kökü ise, $$$P{\left(x \right)}$$$'nin $$$x - a$$$'a bölümünden kalan $$$0$$$ olmalıdır (Kalan Teoremi'ne göre bu, $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ anlamına gelir).

• $$$1$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(1 \right)} = 8$$$; dolayısıyla, kalan $$$8$$$’dir.

• $$$-1$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$-1$$$ bir köktür.

• $$$2$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - 2$$$ ile böl.

  $$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$2$$$ bir köktür.

• $$$-2$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$; dolayısıyla, kalan $$$-28$$$’dir.

• $$$5$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - 5$$$ ile böl.

  $$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; dolayısıyla, kalan $$$0$$$’dir.

  Dolayısıyla, $$$5$$$ bir köktür.

• $$$-5$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$; dolayısıyla, kalan $$$-280$$$’dir.

• $$$10$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - 10$$$ ile böl.

  $$$P{\left(10 \right)} = 440$$$; dolayısıyla, kalan $$$440$$$’dir.

• $$$-10$$$'i kontrol et: $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$'yi $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$ ile böl.

  $$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$; dolayısıyla, kalan $$$-1620$$$’dir.

Olası rasyonel kökler: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.

Bulunan rasyonel kökler: $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.