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$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ の可能な有理根と実際の有理根
入力内容
$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$ の有理根を求めよ。
解答
すべての係数が整数であるため、有理根の定理を適用できます。
トレーリング係数（定数項の係数）は $$$10$$$ です。
その因数（正負の符号も含めて）を求めよ: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.
これらは$$$p$$$の取り得る値です。
首項係数（最高次の項の係数）は $$$1$$$ です。
その因数（正負の符号付き）を求めよ: $$$\pm 1$$$。
$$$q$$$の取り得る値は次のとおりです。
$$$\frac{p}{q}$$$ の取り得るすべての値を求めよ: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.
簡略化し、（もしあれば）重複を削除する。
可能な有理根は次のとおりです: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$
次に、可能な根を確認します：$$$a$$$ が多項式 $$$P{\left(x \right)}$$$ の根であるなら、$$$P{\left(x \right)}$$$ を $$$x - a$$$ で割ったときの余りは $$$0$$$ になるはずです（剰余定理 によれば、これは $$$P{\left(a \right)} = 0$$$ を意味します）。
$$$1$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - 1$$$ で割る。
$$$P{\left(1 \right)} = 8$$$; したがって、余りは$$$8$$$です。
$$$-1$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$ で割る。
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$-1$$$ は根である。
$$$2$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - 2$$$ で割る。
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$2$$$ は根である。
$$$-2$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$ で割る。
$$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$; したがって、余りは$$$-28$$$です。
$$$5$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - 5$$$ で割る。
$$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; したがって、余りは$$$0$$$です。
したがって、$$$5$$$ は根である。
$$$-5$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$ で割る。
$$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$; したがって、余りは$$$-280$$$です。
$$$10$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - 10$$$ で割る。
$$$P{\left(10 \right)} = 440$$$; したがって、余りは$$$440$$$です。
$$$-10$$$ を検算：$$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ を $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$ で割る。
$$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$; したがって、余りは$$$-1620$$$です。
解答
可能な有理根: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.
実際の有理根: $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.