$$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 的可能有理根與實際有理根

求 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$ 的有理零點。

由於所有係數皆為整數，我們可以應用有理根定理。

尾係數（常數項的係數）為 $$$10$$$。

求其因數（包含正號與負號）：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$。

以下是 $$$p$$$ 的可能取值。

首項係數（最高次項的係數）為 $$$1$$$。

求其因數（含正負號）：$$$\pm 1$$$

這些是 $$$q$$$ 的可能取值。

求$$$\frac{p}{q}$$$的所有可能取值：$$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$。

化簡並去除重複項（若有）。

這些是可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$。

接著，檢查可能的根：如果$$$a$$$是多項式$$$P{\left(x \right)}$$$的根，則將$$$P{\left(x \right)}$$$除以$$$x - a$$$的餘數應等於$$$0$$$（根據餘式定理，這意味著$$$P{\left(a \right)} = 0$$$）。

• 檢查 $$$1$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - 1$$$。

  $$$P{\left(1 \right)} = 8$$$；因此，餘數為 $$$8$$$。

• 檢查 $$$-1$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$。

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$-1$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$2$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - 2$$$。

  $$$P{\left(2 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$2$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$-2$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$。

  $$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$；因此，餘數為 $$$-28$$$。

• 檢查 $$$5$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - 5$$$。

  $$$P{\left(5 \right)} = 0$$$；因此，餘數為 $$$0$$$。

  因此，$$$5$$$ 是一個根。

• 檢查 $$$-5$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$。

  $$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$；因此，餘數為 $$$-280$$$。

• 檢查 $$$10$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - 10$$$。

  $$$P{\left(10 \right)} = 440$$$；因此，餘數為 $$$440$$$。

• 檢查 $$$-10$$$：將 $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ 除以 $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$。

  $$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$；因此，餘數為 $$$-1620$$$。

可能的有理根：$$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A。

實際的有理根：$$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A。