Mahdolliset ja toteutuvat rationaaliset juuret $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$:lle

Etsi polynomin $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10 = 0$$$ rationaaliset nollakohdat.

Koska kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja, voimme soveltaa rationaalisten nollakohtien lausetta.

Viimeinen kerroin (vakiotermin kerroin) on $$$10$$$.

Etsi sen tekijät (plus- ja miinusmerkkiset): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.

Nämä ovat $$$p$$$:n mahdolliset arvot.

Johtokerroin (suurimman asteen termin kerroin) on $$$1$$$.

Määritä sen tekijät (sekä plus- että miinusmerkillä): $$$\pm 1$$$.

Nämä ovat mahdolliset arvot $$$q$$$:lle.

Määritä kaikki mahdolliset arvot lausekkeelle $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$.

Yksinkertaista ja poista mahdolliset toistot (jos sellaisia on).

Nämä ovat mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$.

Seuraavaksi tarkista mahdolliset juuret: jos $$$a$$$ on polynomin $$$P{\left(x \right)}$$$ juuri, jaossa tekijällä $$$x - a$$$ jäännöksen tulee olla $$$0$$$ (jäännöslauseen mukaan tämä tarkoittaa, että $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Tarkista $$$1$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = 8$$$; joten jäännös on $$$8$$$.

• Tarkista $$$-1$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$-1$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$2$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$2$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$-2$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = -28$$$; joten jäännös on $$$-28$$$.

• Tarkista $$$5$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - 5$$$.

  $$$P{\left(5 \right)} = 0$$$; joten jäännös on $$$0$$$.

  Siis $$$5$$$ on yksi juuri.

• Tarkista $$$-5$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.

  $$$P{\left(-5 \right)} = -280$$$; joten jäännös on $$$-280$$$.

• Tarkista $$$10$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - 10$$$.

  $$$P{\left(10 \right)} = 440$$$; joten jäännös on $$$440$$$.

• Tarkista $$$-10$$$: jaa $$$x^{3} - 6 x^{2} + 3 x + 10$$$ tekijällä $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.

  $$$P{\left(-10 \right)} = -1620$$$; joten jäännös on $$$-1620$$$.

Mahdolliset rationaaliset juuret: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 10$$$A.

Todelliset rationaaliset juuret: $$$-1$$$, $$$2$$$, $$$5$$$A.