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Mögliche und tatsächliche rationale Nullstellen von $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$
Ihre Eingabe
Bestimme die rationalen Nullstellen von $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$.
Lösung
Da alle Koeffizienten ganzzahlig sind, können wir den Satz über rationale Nullstellen anwenden.
Der Schlusskoeffizient (der Koeffizient des konstanten Glieds) ist $$$9$$$.
Finde die Faktoren (mit dem Pluszeichen und dem Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$p$$$.
Der Leitkoeffizient (der Koeffizient des Terms höchsten Grades) ist $$$3$$$.
Bestimme seine Faktoren (mit Plus- und Minuszeichen): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Dies sind die möglichen Werte für $$$q$$$.
Finden Sie alle möglichen Werte von $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Vereinfache und entferne Duplikate (falls vorhanden).
Dies sind die möglichen rationalen Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Als Nächstes prüfen Sie die möglichen Nullstellen: Wenn $$$a$$$ eine Nullstelle des Polynoms $$$P{\left(x \right)}$$$ ist, sollte der Rest bei der Division von $$$P{\left(x \right)}$$$ durch $$$x - a$$$ gleich $$$0$$$ sein (nach dem Restwertsatz bedeutet dies, dass $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Überprüfe $$$1$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$; daher ist der Rest $$$-2$$$.
Überprüfe $$$-1$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; daher ist der Rest $$$0$$$.
Somit ist $$$-1$$$ eine Nullstelle.
Überprüfe $$$\frac{1}{3}$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{188}{27}$$$.
Überprüfe $$$- \frac{1}{3}$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$; daher ist der Rest $$$\frac{74}{9}$$$.
Überprüfe $$$3$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$; daher ist der Rest $$$156$$$.
Überprüfe $$$-3$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$; daher ist der Rest $$$114$$$.
Überprüfe $$$9$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$; daher ist der Rest $$$19350$$$.
Überprüfe $$$-9$$$: Teile $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ durch $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$; daher ist der Rest $$$17928$$$.
Antwort
Mögliche rationale Nullstellen: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Tatsächliche rationale Nullstelle: $$$-1$$$A.