|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Πιθανές και υπαρκτές ρητές ρίζες του $$$f{\left(x \right)} = 3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$
Η είσοδός σας
Βρείτε τις ρητές ρίζες του $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9 = 0$$$.
Λύση
Εφόσον όλοι οι συντελεστές είναι ακέραιοι, μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα των ρητών ριζών.
Ο καταληκτικός συντελεστής (ο συντελεστής του σταθερού όρου) είναι $$$9$$$.
Βρείτε τους παράγοντες του (με το συν και το πλην): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$p$$$.
Ο κύριος συντελεστής (ο συντελεστής του όρου με τον μεγαλύτερο βαθμό) είναι $$$3$$$.
Βρείτε τους παράγοντές του (με το πρόσημο συν και το πρόσημο μείον): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$.
Αυτές είναι οι δυνατές τιμές για $$$q$$$.
Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές για $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{3}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{3}$$$.
Απλοποιήστε και αφαιρέστε τα διπλότυπα (αν υπάρχουν).
Αυτές είναι οι πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.
Στη συνέχεια, ελέγξτε τις πιθανές ρίζες: αν το $$$a$$$ είναι ρίζα του πολυωνύμου $$$P{\left(x \right)}$$$, το υπόλοιπο από τη διαίρεση του $$$P{\left(x \right)}$$$ με το $$$x - a$$$ πρέπει να ισούται με $$$0$$$ (σύμφωνα με το θεώρημα του υπολοίπου, αυτό σημαίνει ότι $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Ελέγξτε $$$1$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -2$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$-2$$$.
Ελέγξτε $$$-1$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$0$$$.
Επομένως, το $$$-1$$$ είναι ρίζα.
Ελέγξτε $$$\frac{1}{3}$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(\frac{1}{3} \right)} = \frac{188}{27}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{188}{27}$$$.
Ελέγξτε $$$- \frac{1}{3}$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - \left(- \frac{1}{3}\right) = x + \frac{1}{3}$$$.
$$$P{\left(- \frac{1}{3} \right)} = \frac{74}{9}$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$\frac{74}{9}$$$.
Ελέγξτε $$$3$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = 156$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$156$$$.
Ελέγξτε $$$-3$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 114$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$114$$$.
Ελέγξτε $$$9$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - 9$$$.
$$$P{\left(9 \right)} = 19350$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$19350$$$.
Ελέγξτε $$$-9$$$: διαιρέστε το $$$3 x^{4} + x^{3} - 13 x^{2} - 2 x + 9$$$ με τον $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.
$$$P{\left(-9 \right)} = 17928$$$· επομένως, το υπόλοιπο είναι $$$17928$$$.
Απάντηση
Πιθανές ρητές ρίζες: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{3}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$A.
Πραγματική ρητή ρίζα: $$$-1$$$A.